Blog de Mecânica Geral - 2011.1
Aula 27 - sex. 14/10
- Hoje continuamos discutindo o problema da conta que desliza sobre aro na vertical que gira. Encontramos os pontos de equilíbrio, vimos que o número e posição dos pontos de equilíbrio dependem da frequência angular
. Calculamos a frequência de oscilação em torno dos pontos de equilíbrio, e verificamos o tipo de equilíbrio de cada ponto (estável ou instável). - Problemas 7.15 e 7.37 - massa sobre mesa, na ponta de corda que passa por buraco e se liga a uma massa maior pendurada. Encontramos as equações do movimento, as condições para movimento circular e uniforme, e a frequência de pequenas oscilações no raio.
- Discutimos o que são coordenadas ignoráveis ou cíclicas (= que não aparecem na Lagrangeana) e como elas nos permitem encontrar quantidades conservadas.
Refs.: Taylor seções 7.5, 7.6.
Na próxima segunda-feira 17/10 teremos uma aula extra de exercícios. Não teremos nova lista antes da P2, mas recomendo que tentem fazer os seguintes exercícios do capítulo 7 do Taylor: 18, 21, 22, 24, 27, 29, 32, 33, 34, 40, 41. Eu provavelmente discutirei alguns deles na segunda-feira, tragam suas dúvidas.
Aula 26 - seg. 10/10
Resolvendo problemas usando as equações de Lagrange.
- máquina de Atwood;
- oscilador harmônico com vínculo que força a partícula a se mover sobre a superfície de um cilindro;
- um bloco que desliza sobre uma cunha (rampa) que pode, ela mesma, deslizar;
- uma conta (miçanga) que desliza por um aro circular que gira sobre eixo vertical.
Refs.: Taylor seção 7.5.
Aula 25 - sex. 7/10
- Equação de Lagrange para partícula no plano, usando coordenadas polares e cartesianas. Vimos que em coordenadas polares naturalmente encontramos equações com significado físico, como a de conservação de momento angular.
- Sistemas com vínculo: o exemplo do pêndulo simples.
- Sistemas com vínculo: alguns exemplos (pêndulo duplo, pêndulo em vagão acelerado); contando os graus de liberdade. Sistemas holonômicos e não-holonômicos.
Refs.: Taylor seções 7.1, 7.2, 7.3.
Aula 24 - qua. 5/10
- Problema 6.1 e 6.16 do Taylor: encontrando a geodésica sobre a superfície de uma esfera. Vimos que o que encontramos é um caminho estacionário, pode ser o mais curto ou simplesmente estacionário, como no caso de seguirmos o grande círculo (a geodésica) pelo sentido errado.
- Equações de Euler-Lagrange com 2 ou mais variáveis - vimos que resultam em 2 ou mais equações de Euler-Lagrange. Resolvemos novamente o problema do caminho mais curto entre dois pontos no plano desta forma.
- Problema 6.6 do Taylor: achando dS sobre várias superfícies e com parametrizações diferentes. Fizemos os itens c, e, f, sugiro a vocês tentarem os outros itens também.
- Equações de Lagrange para partícula sem vínculos no espaço tridimensional. Definimos a Lagrangeana
, e mostramos que a 2a Lei de Newton é equivalente a uma equação de Euler-Lagrange, com a Lagrangeana no papel principal. Então, pelo menos para o problema de uma partícula sem vínculos, temos a equivalência entre: i) trajetória é determinada pela 2a Lei; ii) ela é determinada pelas equações de Lagrange; iii) ela é determinada pelo Princípio de Hamilton - que a trajetória entre t1 e t2 torna a integral da ação 
estacionária.
Refs.: Taylor seções 6.4, 7.1.
- Esta página tem umas demonstrações interativas do Princípio de Hamilton, para um lançamento de projétil. Você pode variar as possíveis trajetórias e ver quanto dá a integral da ação, tendo uma boa ideia de como essa integral é minimizada pela trajetória correta, aquela prevista pela 2a Lei.
Aula 23 - seg. 3/10
- Outro exemplo de problema que pode ser expresso como minimização de integral: princípio de Fermat, sobre a propagação da luz.
- Equação de Euler-Lagrange. Como chegamos a ela considerando desvios de uma função
em relação à função 
que minimiza a integral S. Fizemos 
, e exigimos que a integral seja estacionária quando 
: 
. Com algumas manipulações nas integrais, chegamos às equações de Euler-Lagrange, que são satisfeitas por y(x) que torna a integral estacionária. - Aplicações: encontramos o caminho mais curto entre dois pontos no plano (uma reta, doh!); e encontramos o formato de montanha russa que une dois pontos de forma ao carrinho chegar no segundo ponto no mínimo de tempo (o problema da braquistócrona, com a ciclóide como solução).
Refs.: Taylor seções 6.1, 6.2, 6.3.
